Soaldan Pembahasan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Soal 1 Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 12 cm dan 5 cm. Jika jarak kedua titik pusatnya adalah 24 cm, maka hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya. Pembahasan: Jari-jari lingkaran pertama (R) = 12 cm Jari-jari lingkaran kedua (r) = 5 cm
KKqJFNw. Ilustrasi Rumus Garis Singgung Persekutuan dalam. Foto Greg Rosenke Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran MatematikaIlustrasi Rumus Garis Singgung Persekutuan dalam. Foto Greg Rosenke =βPΒ² - R + r Β²Keterangand = Garis singgung persekutuan dalamP = Jarak kedua titik pusat lingkaranR = Jari-jari lingkaran besarr = Jari-jari lingkaran kecilContoh Soal Garis Singgung Persekutuan dalam GSPDIlustrasi Rumus Garis Singgung Persekutuan dalam. Foto Annie Spratt
Ada dua jenis garis singgung lingkaran pada persekutuan dua lingkaran yaitu garis singgung persekutuan luar dan dalam pada dua buah lingkaran. Panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran pada dua jenis tersebut dapat dihitung dengan rumus pythagoras. Di mana diketahui pada rumus pythagoras menyatakan hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku. Pada segitiga siku-siku terdapat dua buah sisi tegak dan satu buah sisi miring. Garis singgung persekutuan dua lingkaran merupakan salah satu sisi tegak pada segitiga siku-siku. Sedangkan panjang jumlah/selisih jari-jari menjadi sisi tegak yang satunya. Sisi miring segitiga merupakan panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan dua lingkaran. Tiga buah ruas garis yang merupakan panjang garis singgung, jarak dua pusat dua lingkaran, dan jumlah/selisih segitiga membentuk sebuah segitiga. Antara garis singgung persekutuan dua lingkaran dan garis jumlah/selisih jari-jari lingkaran selalu membentuk sudut siku-siku. Sehingga terbentuklah sebuah segitiga siku-siku yang hubungan ketiga sisinya sesuai dengan rumus pythagoras. Baca Juga Unsur-Unsur Lingkaran dan Rumus Keliling & Luasnya Bagaimana cara menghitung panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dua lingkaran? Bagaimana cara menghitung panjang garis singgung lingkaran? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah. Table of Contents Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran dan Pembahasan Contoh 1 β Soal Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Contoh 2 β Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran Dua buah lingkaran yang berpusat pada titik O dan P memiliki panjang jari-jari yang berbeda. Panjang jari-jari lingkaran dengan pusat O adalah R, sedangkan panjang jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah r. Jarak kedua pusat pada dua lingkaran tersebut adalah OP. Terdapat sebuag garis yang menyinggung kedua lingkaran yaitu garis AB. Gambar di bawah menunjukkan letak garis AB yang merupakan garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dari dua lingkaran. Garis AB adalah garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dua lingkaran. Perhatikan bahwa panjang AB sama dengan panjang PPβ. Sehingga dengan menghitung panjang PPβ secara otomatis dapat mengetahui panjang ruas garis AB. Di mana, garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Segitiga PPβO merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di Pβ. Hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku memenuhi persamaan pada rumus Pythagoras. Sehingga dapat diperoleh persamaan PβP2 = OP2 β PβO2 dengan PβO = OA β BP = R β r. Atau persamaan dapat juga dibentuk dalam bentuk PβP2 = OP2 β R β r2. Dengan demikian panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan luar pada dua lingkaran dapat diperoleh melalui rumus garis singgung persekutuan luar berikut. Baca Juga Panjang Busur, Luas Juring, serta Luas Tembereng Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung, sama seperti pada garis singgung persekutuan luar. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan pada garis singggung persekutuan dalam, dua titik singgung terletak pada sisi yang bersebrangan. Gambar di bawah menunjukkan posisi garis singgung lingkaran pada persekutuan dalam yang menyinggung dua buah lingkaran. Perhatikan bahwa segitiga PPβO merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di Pβ. Hubungan antara PβO, PβP, dan OP dapat sesuai pada rumus Pythagoras yaitu PβP2 = OP2β PβO2. Karena POβ = OA + BP = R + r maka bentuk persamaan dapat juga dinyatakan dalam PβP2 = OP2β R + r2 Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah. Baca Juga Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada Sebuah Lingkaran Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran dan Pembahasan Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman terkait bahasan di atas. Setiap soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih! Contoh 1 β Soal Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah β¦.A. 6 cmB. 8 cmC. 9 cmD. 10 cm Pembahasan Berdasarkan data pada soal, kita dapat peroleh gambar di bawah. Diketahui bahawa, Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran AB = 24 cmJarak keuda pusat lingkaran OP = 26 cmPanjang jari-jari lingkaran besar OA = 18 cmPanjang jari-jari lingkaran kecil OB = r Menghitung panjang garis singgung AB AB2 = OP2 β OA β r2242 = 262 β 18 β r2676 = 576 β 18 β r218 β r2 = 676 β 57618 β r2 = 10018 β r = 10βr = 10 β 18βr = β8 β r = 8 cm Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm. Jawaban D Contoh 2 β Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran Perhatikan gambar berikut! Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah β¦.A. 12 cmB. 15 cmC. 17 cmD. 20 cm Pembahasan Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh informasi-informasi seperti berikut. Panjang jari-jari lingkaran besar R = 10 cmPanjang jari-jari lingkaran kecil r = 5 cmJarak kedua pusat lingkaran OP = 25 cm Menghutng panjang garis singgung ABAB2 = OP2 β PC2AB2 = OP2 β R + r 2= 252 β 10 + 52= 625 β 225AB2 = 400AB = β400 = 20 cm Jadi, panjang garis singgung AB adalah 20 cm. Jawaban D Sekian pembahasan mengenai garis singgung persekutuan dua lingkaran yang meliputi dua jenis yaitu garis singgung persekutuan luar dan dalam. Terimakasih sudah mengunjungi idschooldotnet, semoga bermanfaat. Baca Juga Segitiga Siku-Siku dengan Sudut Istimewa Ξ± = 30o, 45o, atau 60o
Blog Koma - Garis singgung persekutuan lingkaran maksudnya ada suatu garis yang menyinggung suatu lingkaran baik satu lingkaran, dua lingkaran, atau pun lebih. Kosep dasar yang digunakan pada materi garis singgung persekutuan lingkaran adalah teorema pythagoras. Adapun hal-hal yang akan dibahas dalam materi garis singgung ini yatiu garis singgung pada satu lingkaran, garis singgung pada dua lingkaran, dan panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan lingkaran. Tapi sebelumnya akan dibahas dulu sedikit tentang teorema pythagoras. Teorema Pythagoras Mislakan ada segitiga siku-siku seperti berikut, Maka berlaku teorema Pythagoras untuk panjang sisi-sisinya, yaitu $ AC^2 = AB^2 + BC^2 $ Contoh Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AB = 3 dan BC = 4, tentukan panjang AC? Penyelesaian *. Karena segitiga siku-siku, maka berlaku pythagoras $ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ AC^2 & = 3^2 + 4^2 \\ AC^2 & = 9 + 16 \\ AC^2 & = 25 \\ AC & = \sqrt{25} = 5 \end{align} $ Jadi, panjang AC = 5. Garis Singgung pada Satu Lingkaran $\clubsuit $ Defisi garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. Pada gambar di atas tampak bahwa garis $ k $ tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis $ k $ adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung lingkaran. $\clubsuit $ Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran Pada gambar di atas, lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB $ \bot $ garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran. Perhatikan segitiga siku-siku ABO. Dengan teorema Pythagoras berlaku $ \begin{align} OB^2 + AB^2 & = OA^2 \\ AB^2 & = OA^2 - OB^2 \\ AB & = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } \end{align} $ Artinya, panjang garis singgung AB adalah $ AB = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } $ Contoh Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jarijari OB = 5 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 13 cm maka a. gambarlah sketsanya; b. tentukan panjang garis singgung AB. Penyelesaian a. Sketsanya b. panjang garis singgung AB $ \begin{align} AB & = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } \\ AB & = \sqrt{ 13^2 - 5^2 } \\ AB & = \sqrt{ 169 - 25 } \\ AB & = \sqrt{ 144 } = 12 \end{align} $ Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm. Garis singgung pada dua lingkaran Garis singgung persekutuan Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Dari beberapa "kedudukan dua lingkaran", diperoleh berbagai garis singgung yaitu gambar 1 kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan. gambar 2 kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan. gambar 3 kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan. gambar 4 kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan. gambar 5 kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan. Namun yang akan dibahas lebih lanjut adalah garis singgung pada gambar 5, yang bisa dibagi menjadi dua yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar lingkaran. Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran Berikut adalah gambar garis singgung persekutuan dalam lingkaran. Garis singgung persekutuan dalamnya adalah garis AB Rumus cara menghitung panjang garis singgungya Perhatikan gambar di atas. Perpanjang garis PA di titik S sehingga garis SQ sejajar dengan garis singgung AB. Panjang AS = BQ = r, dan PS = PA + AS = R + r , serta panjang PQ = p jarak kedua pusat lingkaran, dan SQ = AB = d garis singgung. Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sehingga berlaku pythagoras. $ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 - PS^2 \\ d^2 & = p^2 - R+r^2 \\ d & = \sqrt{p^2 - R+r^2} \end{align} $ Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran $d$ dengan jarak kedua titik pusat $p$, jari-jari lingkaran besar $R$, dan jari-jari lingkaran kecil $r$ adalah $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - R+r^2} \end{align} $ Contoh Diketahui dua buah lingkaran dengan jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, jari-jari lingkaran besar 5 cm, dan jari-jari lingkaran kecil 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya? Penyelesaian *. Diketahui $ p = 15, R = 5, r = 4 $ *. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - R+r^2} \\ d & = \sqrt{15^2 - 5+4^2} \\ d & = \sqrt{225 - 81} \\ d & = \sqrt{144} = 12 \end{align} $ Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran Berikut adalah gambar garis singgung persekutuan luar lingkaran. Garis singgung persekutuan luarnya adalah garis AB Rumus cara menghitung panjang garis singgungya Perhatikan gambar di atas. Dibuat garis SQ sejajar dengan garis singgung AB. Panjang AS = BQ = r, dan PS = PA - SA = R - r , serta panjang PQ = p jarak kedua pusat lingkaran, dan SQ = AB = d garis singgung. Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sehingga berlaku pythagoras. $ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 - PS^2 \\ d^2 & = p^2 - R-r^2 \\ d & = \sqrt{p^2 - R-r^2} \end{align} $ Rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran $d$ dengan jarak kedua titik pusat $p$, jari-jari lingkaran besar $R$, dan jari-jari lingkaran kecil $r$ adalah $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - R-r^2} \end{align} $ Contoh Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 3$\frac{1}{2} \, $ cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain. Penyelesaian *. Diketahui $ p = 13, \, d = 12, r = 3,5 $ *. Panjang garis singgung persekutuan luar $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - R-r^2} \\ R - r & = \sqrt{p^2 - d^2 } \\ R - 3,5 & = \sqrt{13^2 - 12^2 } \\ R - 3,5 & = \sqrt{25 } \\ R - 3,5 & = 5 \\ R & = 5 + 3,5 = 8,5 \end{align} $ Jadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 8,5 cm. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang Menghubungkan Lingkaran Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai seorang tukang bangunan mengikat beberapa pipa air untuk memudahkan mengangkat. Mungkin juga beberapa tong minyak kosong dikumpulkan menjadi satu untuk diisi kembali. Kali ini kita akan mempelajari cara menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkan untuk mengikat barang-barang tersebut agar memudahkan pekerjaan. Konsep yang digunakan adalah panjang busur lingkaran, silahkan baca juga materinya di "Irisan Dua Lingkaran". Contoh Perhatikan gambar berikut! Gambar di atas menunjukkan penampang tiga buah pipa air berbentuk lingkaran yang masingmasing berjari-jari 7 cm dan diikat menjadi satu. Hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang diperlukan untuk mengikat tiga pipa tersebut.! Penyelesaian *. Ilustrasi gambar *. Menentukan panjang masing-masing. dari gambar ilustrasi di atas, panjang DE = FG = HI = AB = BC = CA = $ 2\times r = 2 \times 7 = 14 $ Segitiga ABC sama sisi, sehingga $ \angle ABC = \angle BAC = \angle ACB = 60^\circ $ $ \angle CBF = \angle ABE = 90^\circ $ $ \angle FBE = \angle GCH = \angle DAI = 360^\circ - 60^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 120^\circ $ Busur FE, busur GH, busur DI masing-masing sudutnya 120$^\circ $, sehingga kalau dijumlahkan menjadi 360$^\circ $ . Artinya total busur FE, GH, dan DI membentuk keliling satu lingkaran, sehingga $ \begin{align} \text{busur FE + busur GH + busur DI } & = \text{ keliling lingkaran } \\ & = 2 \pi r \\ & = 2 . \frac{22}{7} . 7 \\ & = 44 \end{align} $ *. Panjang total sabuk lilitan $ \begin{align} \text{panjang sabuk lilitan } & = DE + FG + HI + \text{busur FE + busur GH + busur DI } \\ & = 14 + 14 + 14 + 44 \\ & = 86 \end{align} $ Jadi, panjang sabuk lilitan minimalnya adalah 86 cm. Catatan Jumlah semua busur pada sabuk lilitan minimal kebanyakan membentuk keliling satu lingkaran. Sebagai latihan, coba tentukan panjang sabuk lilitan minimal gambar-bambar berikut Anggap jari-jari masing-masing lingkaran adalah 7 cm. HINT ANSWER gambar i panjang lilitan = $ 8r + \, $ keliling lingkaran gambar ii panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran gambar iii panjang lilitan = $ 10r + \frac{5}{6} \times \text{ keliling lingkaran } $ gambar iv panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran.
Ingat bahwa untuk menentukan panjang jari-jari lingkaran kedua, dapat digunakan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran. Dari soal diketahui bahwa panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah , jarak antar titik pusat lingkaran adalah , dan panjang jari-jari lingkaran pertama adalah . Perhatikan perhitungan berikut! Didapat bahwa atau Karena menyatakan panjang jari-jari lingkaran keduan dan panjang jari-jari lingkaran tidak mungkin bernilai negatif, maka didapat Dengan demikian, panjang jari-jari lingkaran kedua adalah . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.
Postingan ini Mafia Online buat sebagai tindak lanjut dari pertanyaan Muhamad Rizal pada postingan yang berjudul βPanjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaranβ, yang menanyakan bagaimana cara mengerjakan soal panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran jika salah satu jari-jarinya yang ditanyakan. Mungkin contoh soal di bawah ini bisa membantu Anda. Selamat bersuka ria dengan matematika. Contoh Soal 1 Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 26 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 6 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain. Penyelesaian Diketahui d = 24 cm p = 26 cm R = 6 cm Ditanyakan r = ? Jawab d = βp2 β R + r2 atau d2 = p2 β R + r2 242 = 262 β 6+ r2 576 = 676 β 6 + r2 6 + r2 = 676 β 576 6 + r2 = 100 6 + r = β100 6 + r = 10 r = 10 β 6 r = 4 Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 4 cm Contoh Soal 2 Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 12 cm dan 5 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 24 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam. Penyelesaian Diketahui p = 24 cm R = 12 cm r = 5 cm Ditanyakan d = ? Jawab d = βp2 β R + r2 d = β242 β 12 + 52 d = β242 β172 d = β576 β 289 d = β287 d = 16,94 Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 16,94 cm Contoh Soal 3 Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm. Penyelesaian Soal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut Diketahui p = 30 cm R = 14 cm r = 4 cm Ditanyakan d = ? Jawab d = βp2 β R + r2 d = β302 β 14 + 42 d = β302 β182 d = β900 β 324 d = β576 d = 24 Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cm Contoh Soal 4 Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain. Penyelesaian Diketahui d = 15 cm p = 17 cm R = 3 cm Ditanyakan r = ? Jawab d = βp2 β R + r2 atau d2 = p2 β R + r2 152 = 172 β 3+ r2 225 = 289 β 3 + r2 3 + r2 = 289 β 225 3 + r2 = 64 3 + r = 8 r = 8 β 3 r = 5 Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cm TOLONG DIBAGIKAN YA
panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm
